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1.已知a为实数，求函数f（x）=a/(1-x?)?+1+x? 的最大值
解：很明显，f(x)是偶函数。定义域：x≠±1；
f(0)=a+1；当a>0时，x→±1limf(x)=+∞；当a<0时，x→±1limf(x)=-∞；
不论a>0，还是a<0，都有x→±∞f(x)=+∞.
因此当a>0时该函数有最小值，没有最大值；当a<0时，该函数既无最大值，也无最小值，但有
极值。
令f′(x)=4ax(1-x?)/(1-x?)?+2x=4ax/(1-x?)?+2x=0，4ax+2x(1-x?)?=2x[2a+(1-x?)?]=0,于是得驻点：x?=0；由2a+(1-x?)?=0，1-x?=(-a)^(1/3)，x?=1+(a)^(1/3)，得驻点x?=√[1+(a)^(1/3)]；
x?=-√[1+(a)^(1/3)].
当a>0时x?=0是极小点；当a<0时，x?=0是极大点；极小值或极大值都是f(0)=a+1.
对其它两个极值点，我们只讨论a>0的情况（因为前面已分析，a<0时它们不是极值点，是拐点.)
当a<0时，x?和x?都是极小点。
minf(x)=f(x?)=f(x?)=a^(-1/3)+a^(1/3)+2.
2.过点P（1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程。
解：设过P(1，4)的直线方程为y=k(x-1)+4=kx-k+4；设该直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截
距为b。令y=0，得a=(k-4)/k>0；令x=0，得b=4-k>0；其中k<0，故-k>0，
a+b=(k-4)/k+4-k=1-(4/k)+4-k=5+[-(4/k)+(-k)]≧5+2√[(-4/k)(-k)]=5+2√4=5+4=9
当且仅仅当-4/k=-k，即k?=4，k=-2时等号成立。即当k=-2时a+b获得最小值9。
此时过P的直线方程为y=-2x+6，a=3，b=6.
3.经过点P（2，-3）作圆x?+y?=20的弦AB，使P平分AB，求：（1）弦AB所在直线的方程；
(2).弦AB的长。
解：圆x?+y?=20，圆心(0，0)，半径R=√20=2√5。
连接OP，则OP⊥AB，KOP=-3/2，故KAB=2/3，那么弦AB所在直线的方程为：
y=(2/3)(x-2)-3=(2/3)x-13/3，即2x-3y-13=0.......(1)
圆心(0，0)到弦AB的距离d=︱-13︱/√(13)=13/√13=√13，那么
︱AB︱=2√(R?-d?)=2√(20-13)=2√7.
4.已知tanx=3，求下列各式的值。（1）2sinxcosx (2)(1-2sinxcosx)/(cos^2x-sin^2x)
解：(1) 2sinxcosx=2sinxcosx/(sin?x+cos?x)=2/(tanx+cotx)=2/(3+1/3)=3/5
(2)tanx=3，故tan2x=2tanx/(1-tan?x)=6/(1-9)=-6/8=-3/4；sec2x=±√(1+tan?2x)=±(5/4)
(1-2sinxcosx)/(cos?x-sin?x)=(1-sin2x)/cos2x=sec2x-tan2x=±(5/4)+3/4)=2或-1/2
5.已知向量a=（1/√2，-2）,向量b=[sin(π/4+2x)，cos2x]（x∈R）.设函数f(x)=向量a?向量b。（1）求f（-π/4）的值；(2)求f(x)的最大值及对应的x的值(原题可能有错，已把2^(-2)改成1/√2)
解：f(x)=a?b=(1/√2)sin(π/4+2x)-2cos2x=(1/√2)(√2/2)(cos2x+sin2x)-2cos2x
=(1/2)sin2x-(3/2)cos2x=(1/2)[sin2x-3cos2x]=(1/2)[sin2x-tanθcos2x]
=(1/2cosθ)[sin2xcosθ-cos2xsinθ]=(1/2cosθ)sin(2x-θ)=(1/2√10)sin(2x-θ)
其中tanθ=3，sinθ=3/√10，cosθ=1/√10.
(1)f(-π/4)=(1/2√10)sin(-π//2-θ)=-(1/2√10)sin(π//2+θ)=(1/2√10)cosθ=(1/2√10)(1/√10)=1/20
(2)maxf(x)=f(0)=1/2√10=(√10)/20.
(如果题目改错了，不要紧，解法是相同的。原题写的2^-2也实在让人费解）
6.已知函数f（x）=cos?x+sinx+a-1（1）若f（x）=0有实数解，求a的取值范围；
（2）若1≤f（x）≤17/4对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。
解：cos?x+sinx+a-1=1-sin?x+sinx+a-1=-sin?x+sinx+a=0
即有sin?x-sinx-a=0，故sinx=[1±√(1+4a)]/2，如果有实数解，则有：
1+4a≧0，即a≧-1/4...........(1)
︱[1±√(1+4a)]/2︱≦1，即-1≦[1±√(1+4a)]/2≦1，-2≦1±√(1+4a)≦2，-3≦±√(1+4a)≦1
由√(1+4a)≦1，得1+4a≦1，4a≦0， a≦0.........(2)
由-3≦-√(1+4a)，得3≧√(1+4a)，1+4a≦9，4a≦8，a≦2.........(3)
(1)∩(2)∩(3)={a︱-1/4≦a≦0}
7.已知向量a=（cos(3x/2)，sin(3x/2))，b=(cos(x/2)，-sin(x/2)),且x∈[0,π/2]，
f（x）=a?b-2λ丨a+b丨（λ为常数），求：（1)a?b及丨a+b丨；（2）若f（x）的最小值是-3/2，求实数λ的值
解：(1)a?b=cos(3x/2)cos(x/2)-sin(3x/2)sin(x/2)=cos(3x/2+x/2)=cos2x
a+b=((cos(3x/2)+cos(x/2)，sin(3x/2)-sin(x/2))=(2cosxcos(x/2)，2cosxsin(x/2))
︱a+b︱=√[4cos?xcos?(x/2)+4cos?xsin?(x/2)]=√(4cos?x)=2︱cosx︱=2cosx，(x∈[0,π/2])
(2)f(x)=a?b-2λ丨a+b丨=cos2x-4λcosx=2cos?x-1-4λcosx=2cos?x-4λcosx-1=2(cos?x-2λcosx)-1
=2[(cosx-λ)?-λ?]-1=2(cosx-λ)?-2λ?-1≧-2λ?-1=-3/2，2λ?=3/2-1=1/2，λ?=1/4，λ=1/2(λ=-1/2舍去)
即当λ=1/2，cosx=1/2，x=π/3时，f(x)获得最小值-3/2.
高一数学解答题！！！要过程和答案
1.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝?，则实数a的取值集合为( C )
A．{a|a<2} B．{a|a≥－1} C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}
2. A＝{x∈N*|4<x<8}，B＝{x|x2－8x＋15＝0}，则A∪B＝_{x∈N*|3<x<8}__.
解析：
B={x|(x-5)(x-3)=0}={3,5}
A={x∈正整数|4<x<8}
3. 若A＝{x|a≤x≤1}，则B＝{x|x≤b}，A∩B＝{x|－2≤x≤1}，A∪B＝{x|x≤2}，则a＋b＝__0__.
a=-2
b=2
4. 已知集合P＝{x|－3＜x＜－2，或x＞1}，M＝{x|a≤x≤b}，且P∪M＝{x|x＞－3}，P∩M＝{x|1＜x≤3}，求实数a、b的值．（要详细过程、、）
画图可知
无法画图
从P∪M＝{x|x＞－3}知：-3＜a≤-2，b≥1；
从P∩M＝{x|1＜x≤3}知：b=3，a≤-2.则：a=-2
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩?UB＝( C )
A．{2} B．{5} C．{3,4} D．{2,3,4,5}
6．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{5,3,4}，则?U(A∩B)＝( D )
A．{1} B．{4,5} C．{2,4} D．{1,2,4,5}
7．给出下列命题：
①设全集U＝R，A＝{正数}，则?UA＝{负数}；错
②设全集S＝N，A＝N*，则?SA＝0； 对
③设全集U＝{三角形}，集合A＝{锐角三角形}，则?UA＝{钝角三角形}错 还有直角三角形
④设集合M，N都是全集U的非空子集，若?UM?N，则必有M?UN. 对
其中正确命题的个数为 (B)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}，用列举法表示集合?SA是{（x,y）|（0,0）}
1、因为对任意x,f(-x)=f(x)
所以f（-3/4)=f（3/4)
另a^2-a+1=a^2-a+1/4+3/4=(a-1/2)^2+3/4
因为(a-1/2)^2>=0
所以(a-1/2)^2+3/4>=3/4
又因为f(x)在[0,正无穷)上是减函数
所以f（3/4)>=f[(a-1/2)^2+3/4]
即f（-3/4)>=f（a^2-a+1)
2、f(x)=ax+1/x+2=[a(x+2)+1-2a]/x+2=a+(1-2a)/(x+2)
因为f(x)=a+(1-2a)/(x+2)在区间（-2，正无穷）上是增函数
所以1-2a<0
所以a>1/2
因此，a的取值范围为（1/2,正无穷）
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